矩阵的运算

矩阵的数量乘法

$cA = c\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} c a_{11} & c a_{12} \\ c a_{21} & c a_{22} \end{array}\right]$

矩阵与矩阵的乘法

举例的矩阵 A 和矩阵 B 的乘法运算：

• 左边矩阵的列数要和右边矩阵的行数相等
• 左边矩阵的行数决定了结果矩阵的行数；右边矩阵的列数决定了结果矩阵的列数

$\begin{aligned} &{\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right] \times\left[\begin{array}{lll} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{array}\right]} \\ =&\left[\begin{array}{lll} a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} & a_{11} b_{13}+a_{12} b_{23} \\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22} & a_{21} b_{13}+a_{22} b_{23} \\ a_{31} b_{11}+a_{32} b_{21} & a_{31} b_{12}+a_{32} b_{22} & a_{31} b_{13}+a_{32} b_{23} \end{array}\right] \end{aligned}$

矩阵乘以向量的本质

矩阵与向量的乘法，一般而言写作矩阵 $A$ 在左，列向量 $x$ 在右的 $Ax$ 的形式，便于描述向量 $x$ 的位置在矩阵 $A$ 的作用下进行变换的过程。

$\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{11} \\ x_{21} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a_{11} x_{11}+a_{12} x_{21} \\ a_{21} x_{11}+a_{22} x_{21} \\ a_{31} x_{11}+a_{32} x_{21} \end{array}\right]$

例子：

$\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 4 \\ 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \times 4+2 \times 5 \\ 3 \times 4+4 \times 5 \\ 5 \times 4+6 \times 5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 14 \\ 32 \\ 50 \end{array}\right]$

原始坐标/向量 $(4,5)$ 经过矩阵的乘法转换，变换为 3 维坐标/向量 $(14,32,50)$
在特定矩阵的乘法作用下，原空间中的向量坐标，被映射到了目标空间中的新坐标，向量的空间位置(以及所在空间维数）发生了转化。

行角度

从行角度看矩阵 $A$ 与列向量 $x$ 的乘法，例如：$A x=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}a x_1+b x_2 \\ c x_1+d x_2\end{array}\right]$

按照乘法的定义，结果列向量的每一元素都是矩阵的行向量点乘该列向量： $A x=\left[\begin{array}{l}\operatorname{row}_1 \\ \operatorname{row}_2\end{array}\right] x=\left[\begin{array}{l}\operatorname{row}_1 \cdot x \\ \operatorname{row}_2 \cdot x\end{array}\right]$

列角度

矩阵 $A$ 与向量 $x$ 的乘法，可以看作是对矩阵 $A$ 列向量进行线性组合的过程。
将 $A$ 写作一组列变量形式计算：

$A x=\left[\begin{array}{llll} \operatorname{col}_1 & \operatorname{col}_2 & \ldots & \operatorname{col}_n \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array}\right]=x_1 \operatorname{col}_1+x_2 \operatorname{col}_2+\ldots+x_n \operatorname{col}_n$

例子：

$A x=\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 5 \end{array}\right]=3\left[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \end{array}\right]+5\left[\begin{array}{l} 2 \\ 4 \end{array}\right]$

所得到的结果就是矩阵的第一个列向量乘以 $x_1=3$ 加上第二个列向量乘以 $x_2=5$
一个矩阵和一个向量相乘的过程，对位于原矩阵各列的列向量重新进行线性组合的过程，而线性组合的各系数就是该向量的对应下标元素。

坐标变换

从列角度的变换的过程，就是坐标的变换。考虑 $m\times n$ 矩阵 $A$ 和 $n$ 维向量 $x$ 的乘法：

$\begin{aligned} A x&=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & & \ldots & \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \ldots \\ x_n \end{array}\right]\\ &=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \ldots & & \ldots & \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \ldots & a_{m n} \end{array}\right]\left(x_1\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \ldots \\ 0 \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \ldots \\ 0 \end{array}\right]+\cdots+x_n\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \ldots \\ 1 \end{array}\right] \right)\\ &=x_1\left[\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \ldots \\ a_{m 1} \end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \ldots \\ a_{m 2} \end{array}\right]+\ldots+x_n\left[\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \ldots \\ a_{m n} \end{array}\right] \end{aligned}$

经过乘法变换，$n$ 维列向量 $x$ 变换成了 $n$ 个 $m$ 维列向量线性组合的形式，其最终结果是一个 $m$ 维的列向量。
可以看出：经过变换，将 $x$ 维的向量空间映射到了矩阵 $A$ 列向量张成的空间（秩=列向量组的秩）
说明：

• 当且仅当 $n=m$，且 $n$ 个列向量线性无关的时候，它们才能称之为一组新的基底。

链接

• https://www.zhihu.com/question/28623194